Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente refazer uma demonstração sobre relações de equivalência. Basicamente, temos um conjunto
e uma relação de equivalência
definida nesse conjunto. Além disso, temos dois elementos
e
que pertencem a
. O que precisamos mostrar é que duas afirmações são equivalentes: uma delas é
, onde
representa a classe de equivalência de
. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que é uma relação de equivalência, suas propriedades e como as classes de equivalência funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Para todo
, temos . - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
Agora, a classe de equivalência de um elemento
em
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos de
que são relacionados a
pela relação
. Ou seja,
Passo 3
Vamos mostrar que
implica que
. Se
está na classe de equivalência de
, pela definição de classe de equivalência, isso significa que
. Ou seja,
Passo 4
Agora, vamos mostrar o contrário: que
implica
. Se
, então, pela definição da classe de equivalência,
pertence a
. Logo,
Resposta
Portanto, mostramos que
é equivalente a
. As duas afirmações se implicam mutuamente, confirmando que são de fato equivalentes.
Exercícios relacionados
Derive
Mostre que
Encontre
.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.