Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente refazer uma demonstração sobre relações de equivalência. Basicamente, temos um conjunto e uma relação de equivalência definida nesse conjunto. Além disso, temos dois elementos e que pertencem a . O que precisamos mostrar é que duas afirmações são equivalentes: uma delas é , onde representa a classe de equivalência de . Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que é uma relação de equivalência, suas propriedades e como as classes de equivalência funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo , temos .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Agora, a classe de equivalência de um elemento em , denotada por , é o conjunto de todos os elementos de que são relacionados a pela relação . Ou seja,

Passo 3

Vamos mostrar que implica que . Se está na classe de equivalência de , pela definição de classe de equivalência, isso significa que . Ou seja,

Passo 4

Agora, vamos mostrar o contrário: que implica . Se , então, pela definição da classe de equivalência, pertence a . Logo,

Resposta

Portanto, mostramos que é equivalente a . As duas afirmações se implicam mutuamente, confirmando que são de fato equivalentes.

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Derive
Mostre que
Encontre .
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.