Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva. Vamos precisar calcular a derivada da função e depois usá-la para achar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Usando as regras de derivação:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor da inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 7.

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais comum :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Se , onde , encontre .
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Calcule as derivadas abaixo:
(e)
Calcule as derivadas abaixo:
(n)