Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função
no ponto
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva. Vamos precisar calcular a derivada da função e depois usá-la para achar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da função. Usando as regras de derivação:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor da inclinação da reta tangente no ponto
. Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 7.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais comum
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
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Se
, onde
, encontre
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
.
Calcule as derivadas abaixo:
(e)
(e)
Calcule as derivadas abaixo:
(n)
(n)