Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto indicado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva dada no ponto específico (1, 2). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente de derivadas implícitas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto dado.
Passo 2
A equação da curva é:
Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto (1, 2). Essa derivada nos dará a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia quando derivamos termos que envolvem .
Derivando cada termo:
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :
Usamos a regra do produto:
Derivada de em relação a é 0, pois são constantes.
Passo 4
Agora, colocando todas as derivadas na equação:
Passo 5
Queremos isolar . Vamos agrupar os termos que contêm :
Passo 6
Agora, resolvemos para :
Passo 7
Vamos substituir os valores de e na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado:
Passo 8
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 9
Agora, temos a inclinação da reta tangente. Para encontrar a equação da reta, usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde é a inclinação e é o ponto dado (1, 2).
Substituindo:
Passo 10
Para simplificar, podemos deixar a equação na forma acima ou distribuí-la para obter uma forma mais simplificada:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 2) é: