Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto indicado.
2 * raiz(x) + raiz(y) + x * y = 4 + raiz(2), (1, 2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva dada no ponto específico (1, 2). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente de derivadas implícitas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto dado.

Passo 2

A equação da curva é:
Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto (1, 2). Essa derivada nos dará a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia quando derivamos termos que envolvem .
Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
    Usamos a regra do produto:
  • Derivada de em relação a é 0, pois são constantes.

Passo 4

Agora, colocando todas as derivadas na equação:

Passo 5

Queremos isolar . Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Vamos substituir os valores de e na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado:

Passo 8

Simplificando o denominador:
Então:

Passo 9

Agora, temos a inclinação da reta tangente. Para encontrar a equação da reta, usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde é a inclinação e é o ponto dado (1, 2).
Substituindo:

Passo 10

Para simplificar, podemos deixar a equação na forma acima ou distribuí-la para obter uma forma mais simplificada:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 2) é:

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