Encontre o ponto da hipérbole x^2 - y^2 = 16 que está mais próximo do ponto 0,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o ponto na hipérbole que está mais próximo do ponto . Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com hipérboles e minimização de distância. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, como derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar “mais próximo”. A distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Mas, para facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância:

Passo 3

Como queremos que o ponto esteja na hipérbole , podemos usar essa equação para relacionar e . Vamos isolar :

Passo 4

Substituindo na expressão de :
Vamos expandir :
Então:

Passo 5

Agora, queremos minimizar . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Com , voltamos à equação da hipérbole para encontrar :

Passo 7

Então, os pontos na hipérbole que podem ser os mais próximos de são e . Vamos verificar qual deles realmente está mais próximo.
Calculando a distância para :
E para :
Como os dois têm a mesma distância, ambos são válidos.

Resposta

Os pontos na hipérbole mais próximos de são e .

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