Encontre o ponto da hipérbole
que está mais próximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o ponto na hipérbole
que está mais próximo do ponto
. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com hipérboles e minimização de distância. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, como derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar “mais próximo”. A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Mas, para facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância:
Passo 3
Como queremos que o ponto
esteja na hipérbole
, podemos usar essa equação para relacionar
e
. Vamos isolar
:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Vamos expandir
:
Então:
Passo 5
Agora, queremos minimizar
. Para isso, vamos derivar em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Com
, voltamos à equação da hipérbole para encontrar
:
Passo 7
Então, os pontos na hipérbole que podem ser os mais próximos de
são
e
. Vamos verificar qual deles realmente está mais próximo.
Calculando a distância para
:
E para
:
Como os dois têm a mesma distância, ambos são válidos.
Resposta
Os pontos na hipérbole
mais próximos de
são
e
.