Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções racionais, como encontrar interceptos, assíntotas e analisar o comportamento da função. Vamos precisar entender como identificar esses elementos para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. A função
é uma função racional, ou seja, uma fração onde o polinômio do denominador não pode ser zero (porque dividir por zero não é permitido).
Então, igualamos o denominador a zero para encontrar esses pontos:
Portanto, a função não está definida em
e
. Esses pontos serão assíntotas verticais no gráfico.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos
e
.
Intercepto com o eixo
:
Para encontrar, basta calcular
:
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Interceptos com o eixo
:
Para encontrar, resolvemos
:
Portanto, o único intercepto com o eixo
também é
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais:
Já encontradas no Passo 2, em
e
.
Assíntota horizontal:
Para funções racionais, com o grau do denominador maior que o do numerador, a assíntota horizontal é
.
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da função perto das assíntotas verticais e horizontais, e também para
indo para
e
.
-
Perto de
: - Quando
se aproxima de pela esquerda, fica positivo e próximo de zero, então tende a . - Quando
se aproxima de pela direita, fica negativo e próximo de zero, então tende a .
- Quando
-
Perto de
: - Quando
se aproxima de pela esquerda, fica negativo e próximo de zero, então tende a . - Quando
se aproxima de pela direita, fica positivo e próximo de zero, então tende a .
- Quando
-
Para
indo para ou : - A assíntota horizontal
confirma que a função se aproxima de zero.
- A assíntota horizontal
Passo 6
Vamos verificar se há pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Para isso, derivamos
em relação a
:
Como
é sempre positivo e
também é sempre positivo (já que é o quadrado), a derivada
é sempre positiva onde a função está definida. Isso significa que a função é sempre crescente nesses intervalos.
Passo 7
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
- Intercepto: Apenas no ponto
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Comportamento: A função é sempre crescente onde está definida.
Desenho:
- Trace as assíntotas verticais em
e , e a assíntota horizontal em . - Plote o ponto
. - Note que para
, a função cresce de a . - Para
, a função cresce de a . - Para
, a função cresce de a zero.
Resposta
O gráfico da função
possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e é sempre crescente nos intervalos onde está definida. O único intercepto é no ponto
.
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a)
a)
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.
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