Esboce o gráfico da função.
f(x) = x / (2 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções racionais, como encontrar interceptos, assíntotas e analisar o comportamento da função. Vamos precisar entender como identificar esses elementos para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida. A função é uma função racional, ou seja, uma fração onde o polinômio do denominador não pode ser zero (porque dividir por zero não é permitido).
Então, igualamos o denominador a zero para encontrar esses pontos:
Portanto, a função não está definida em e . Esses pontos serão assíntotas verticais no gráfico.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos e .
Intercepto com o eixo :
Para encontrar, basta calcular :
Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
Interceptos com o eixo :
Para encontrar, resolvemos :
Portanto, o único intercepto com o eixo também é .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais:
Já encontradas no Passo 2, em e .
Assíntota horizontal:
Para funções racionais, com o grau do denominador maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto das assíntotas verticais e horizontais, e também para indo para e .
  • Perto de :
    • Quando se aproxima de pela esquerda, fica positivo e próximo de zero, então tende a .
    • Quando se aproxima de pela direita, fica negativo e próximo de zero, então tende a .
  • Perto de :
    • Quando se aproxima de pela esquerda, fica negativo e próximo de zero, então tende a .
    • Quando se aproxima de pela direita, fica positivo e próximo de zero, então tende a .
  • Para indo para ou :
    • A assíntota horizontal confirma que a função se aproxima de zero.

Passo 6

Vamos verificar se há pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Para isso, derivamos em relação a :
Como é sempre positivo e também é sempre positivo (já que é o quadrado), a derivada é sempre positiva onde a função está definida. Isso significa que a função é sempre crescente nesses intervalos.

Passo 7

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
  • Intercepto: Apenas no ponto .
  • Assíntotas verticais: e .
  • Assíntota horizontal: .
  • Comportamento: A função é sempre crescente onde está definida.
Desenho:
  1. Trace as assíntotas verticais em e , e a assíntota horizontal em .
  2. Plote o ponto .
  3. Note que para , a função cresce de a .
  4. Para , a função cresce de a .
  5. Para , a função cresce de a zero.

Resposta

O gráfico da função possui assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e é sempre crescente nos intervalos onde está definida. O único intercepto é no ponto .

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