Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente quando a equação da curva não está resolvida para
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivada implícita à equação da curva. A derivada implícita é usada quando temos uma equação que envolve
e
juntos, e queremos encontrar
sem isolar o
.
Começamos derivando cada termo da equação em relação a
:
Passo 3
Vamos derivar termo a termo:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aqui, usamos a regra do produto, que diz que, onde e .
- Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia, já queé função de .
- Derivada de
:
A derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas, temos:
Queremos isolar
, então vamos reunir os termos que contêm
:
Agora, fatorando
:
Então, resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos a expressão para
, vamos calcular o valor da inclinação da reta tangente no ponto dado
.
Substituindo
e
:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é:
Substituindo os valores:
Resposta
Simplificando a equação:
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
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, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(d) .
(d)
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para os quais
satisfaz a equação
.
Seja
definida no intervalo
. Mostre que não existe
que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio. Faça o gráfico da função. Sugestão: Mostre que
não satisfaz pelo menos uma das hipóteses do T.V.M.