Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente quando a equação da curva não está resolvida para .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada implícita à equação da curva. A derivada implícita é usada quando temos uma equação que envolve e juntos, e queremos encontrar sem isolar o .
Começamos derivando cada termo da equação em relação a :

Passo 3

Vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra do produto, que diz que , onde e .
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia, já que é função de .
  1. Derivada de :
    A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas, temos:
Queremos isolar , então vamos reunir os termos que contêm :
Agora, fatorando :
Então, resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos a expressão para , vamos calcular o valor da inclinação da reta tangente no ponto dado .
Substituindo e :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é:
Substituindo os valores:

Resposta

Simplificando a equação:
A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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