Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada implícita, para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, vamos derivar a equação da curva em relação a .
Diferenciando ambos os lados de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
A gente isolou porque queremos a inclinação da reta tangente, que é justamente essa derivada.

Passo 4

Isolando , temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 7

Finalmente, vamos rearranjar a equação para a forma padrão:
Multiplicando ambos os lados por 8 para eliminar o denominador:
Distribuindo:
Somando e adicionando 16 aos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Calcule : ;
Calcule : ;