Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada implícita, para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, vamos derivar a equação da curva em relação a .
Diferenciando ambos os lados de em relação a :
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada:
A gente isolou porque queremos a inclinação da reta tangente, que é justamente essa derivada.
Passo 4
Isolando , temos:
Dividindo ambos os lados por :
Passo 5
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 6
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, vamos rearranjar a equação para a forma padrão:
Multiplicando ambos os lados por 8 para eliminar o denominador: