(a) Encontre uma equação para a reta tangente à curva que seja paralela à reta .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos a curva e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva que seja paralela à reta . Para resolver, vamos precisar conhecer derivadas para achar a inclinação da reta tangente e entender como retas paralelas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta dada . Para isso, vamos reescrever a equação na forma , onde é a inclinação.
Transformando:
Então, a inclinação da reta é .

Passo 3

Queremos que a reta tangente à curva tenha a mesma inclinação . Para isso, precisamos encontrar o ponto na curva onde a derivada de é igual a .

Passo 4

A derivada de é . Vamos igualar essa derivada à inclinação desejada:
Para encontrar , aplicamos o logaritmo natural:

Passo 5

Agora que temos o valor de , vamos encontrar o valor de na curva usando :
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 6

Sabemos que a equação da reta tangente é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Simplificando a equação:

Resposta

A equação da reta tangente à curva que é paralela à reta é:

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(b) Expresse como um limite e.