(a) Encontre uma equação para a reta tangente à curva
que seja paralela à reta
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos a curva
e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva que seja paralela à reta
. Para resolver, vamos precisar conhecer derivadas para achar a inclinação da reta tangente e entender como retas paralelas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta dada
. Para isso, vamos reescrever a equação na forma
, onde
é a inclinação.
Transformando:
Então, a inclinação da reta é
.
Passo 3
Queremos que a reta tangente à curva
tenha a mesma inclinação
. Para isso, precisamos encontrar o ponto na curva onde a derivada de
é igual a
.
Passo 4
A derivada de
é
. Vamos igualar essa derivada à inclinação desejada:
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, vamos encontrar o valor de
na curva usando
:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Sabemos que a equação da reta tangente é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Simplificando a equação:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
que é paralela à reta
é:
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(b) Expresse como um limite e.