Nos itens abaixo, determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície
no ponto
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Para
:
- Para
:
Também precisamos encontrar
no ponto dado. Substituindo
e
na função original:
Passo 5
Agora que temos todos os componentes, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula que vimos:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: