Nos itens abaixo, determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado: z = e^y cos(x), (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
Também precisamos encontrar no ponto dado. Substituindo e na função original:

Passo 5

Agora que temos todos os componentes, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula que vimos:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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