Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto caracterizado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar essa reta. Precisaremos calcular o valor da função no ponto dado e a derivada dessa função para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na função quando
. Isso significa substituir
por 0 na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente no ponto
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea, que neste caso será a inclinação da reta tangente.
A função dada é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que se
, então:
Onde:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto onde
é:
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula é dada por
. Quais são as expressões correspondentes para a velocidade
e aceleração
. Assumindo que
e
, faça os gráficos de
e
para
.
Partindo das definições de velocidade e aceleração instantâneas, obtenha a lei horária de um movimento com aceleração constante.
Seja
Calcule
.
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
Use a regra de L