Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto caracterizado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar essa reta. Precisaremos calcular o valor da função no ponto dado e a derivada dessa função para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na função quando . Isso significa substituir por 0 na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea, que neste caso será a inclinação da reta tangente.
A função dada é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que se , então:
Onde:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada simplificada é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto onde é:

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Seja
Calcule .
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
Use a regra de L