Partindo das definições de velocidade e aceleração instantâneas, obtenha a lei horária de um movimento com aceleração constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente, usando as definições de velocidade e aceleração instantâneas, chegar na lei horária de um movimento com aceleração constante. Isso envolve conceitos de cinemática, especificamente como descrevemos o movimento de um objeto quando ele está acelerando de forma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de velocidade e aceleração, e como elas se relacionam com a posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a velocidade instantânea. A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, se é a posição no tempo , então a velocidade é:

Passo 3

Agora, a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Matemáticamente:

Passo 4

Como estamos lidando com aceleração constante, isso significa que , onde é uma constante. Então, temos:

Passo 5

Vamos integrar essa equação para encontrar a velocidade em função do tempo. Integrando em relação ao tempo:
Aqui, é a constante de integração, que representa a velocidade inicial :

Passo 6

Agora, vamos integrar novamente para encontrar a posição em função do tempo. Integrando em relação ao tempo:
Aqui, é outra constante de integração, que representa a posição inicial :

Resposta

A lei horária para um movimento com aceleração constante é:

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