Use a regra de L
lim x 1 4 x^2 arctan (x)-pix^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos
lim x 1 4 x^2 arctan (x)-pix^2-1
Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de limites e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver. Para aplicar essa regra, precisamos identificar situações em que o limite resulta em uma forma indeterminada, como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 4 (1)^2 arctan (1)-pi(1)^2-1 = 4 cdot 1 cdot pi4 - pi1 - 1 = pi - pi0 = 00 na expressão para ver se obtemos uma forma indeterminada:
Como a substituição resultou em , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma ddx [4x^2 arctan(x) - pi] = 4 cdot ddx [x^2 arctan(x)] = 4 ( 2x arctan(x) + x^2 cdot 11 + x^2 ) ou ddx [x^2 - 1] = 2x , podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Então, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas encontradas:
lim x 1 4 ( 2x arctan(x) + x^21 + x^2 )2x = lim x 1 8x arctan(x) + 4x^21 + x^22x
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por lim x 1 ( 4 arctan(x) + 2x1 + x^2 ) :

Passo 5

Agora, substituímos 4 arctan(1) + 2 cdot 11 + (1)^2 = 4 cdot pi4 + 22 = pi + 1 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados