A posição de uma partícula é dada por
. Quais são as expressões correspondentes para a velocidade
e aceleração
. Assumindo que
e
, faça os gráficos de
e
para
.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula cuja posição no tempo é dada por
. A questão pede para encontrar as expressões da velocidade
e da aceleração
, que são as derivadas da posição em relação ao tempo. Além disso, temos que usar os valores específicos de
,
,
e
para fazer os gráficos de
,
e
no intervalo de
a
segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Derivando cada termo de
:
- A derivada de
em relação a é 0, pois é uma constante. - A derivada de
é , já que é uma constante. - A derivada de
é usando a regra do poder.
Portanto, a expressão da velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada termo de
:
- A derivada de
é 0. - A derivada de
é usando a regra do poder.
Então, a expressão da aceleração é:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores fornecidos na questão para
,
,
e
nas expressões de
e
:
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Passo 5
Por fim, vamos fazer os gráficos de
,
e
para
variando de 0 a 10 segundos usando as expressões encontradas:
- A aceleração
é uma função linear que passa pelo ponto . - A velocidade
é uma parábola que se abre para cima. - A posição
é uma função cúbica.
Esses gráficos mostram como a posição, velocidade e aceleração da partícula variam ao longo do tempo no intervalo especificado.
Resposta
As expressões correspondentes são:
Os gráficos de
,
e
para
a
segundos foram elaborados com base nessas expressões.
Exercícios relacionados
Partindo das definições de velocidade e aceleração instantâneas, obtenha a lei horária de um movimento com aceleração constante.
Uma partícula, inicialmente em repouso, move-se durante
segundos em linha reta com aceleração
(sendo
uma constante). Quais são as expressões correspondentes para a velocidade
e posição
?
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto caracterizado por
.
Seja
Calcule
.
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.