A posição de uma partícula é dada por x(t) = x0 + v0 * t + A/6 * (t - t0)^3. Quais são as expressões correspondentes para a velocidade v(t) = dx/dt e aceleração a(t) = dv/dt. Assumindo que t0 = 5 s, A = 2 m/s^3, v0 = -10 m/s e x0 = 40 m, faça os gráficos de a(t), v(t) e x(t) para t = (0,10 s).

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula cuja posição no tempo é dada por . A questão pede para encontrar as expressões da velocidade e da aceleração , que são as derivadas da posição em relação ao tempo. Além disso, temos que usar os valores específicos de , , e para fazer os gráficos de , e no intervalo de a segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Derivando cada termo de :
  • A derivada de em relação a é 0, pois é uma constante.
  • A derivada de é , já que é uma constante.
  • A derivada de é usando a regra do poder.
Portanto, a expressão da velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada termo de :
  • A derivada de é 0.
  • A derivada de é usando a regra do poder.
Então, a expressão da aceleração é:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos na questão para , , e nas expressões de e :
Para a velocidade:
Para a aceleração:

Passo 5

Por fim, vamos fazer os gráficos de , e para variando de 0 a 10 segundos usando as expressões encontradas:
  • A aceleração é uma função linear que passa pelo ponto .
  • A velocidade é uma parábola que se abre para cima.
  • A posição é uma função cúbica.
Esses gráficos mostram como a posição, velocidade e aceleração da partícula variam ao longo do tempo no intervalo especificado.

Resposta

As expressões correspondentes são:
Os gráficos de , e para a segundos foram elaborados com base nessas expressões.

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