Seja
Calcule .
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função:
E precisamos calcular a derivada dessa função no ponto , ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar a regra da cadeia duas vezes. A regra da cadeia é uma técnica de derivação que usamos quando temos uma função dentro de outra função, tipo uma “bola de mato”. Vamos precisar conhecer essa regra e também saber derivar funções básicas como potências e seno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes internas da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Aqui, temos uma função composta:
  • A função externa é algo elevado a .
  • A função interna dentro dos colchetes é .
Então, vamos chamar:
Assim, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar usando a regra da cadeia. A regra diz que se temos , então:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora precisamos encontrar , que é a derivada de .
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Aqui, usamos a regra da cadeia novamente. Seja , então:
Portanto, .

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:
Queremos , então vamos substituir :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Substituir na expressão de :

Resposta

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