Seja
Calcule
.
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função:
E precisamos calcular a derivada dessa função no ponto
, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia duas vezes. A regra da cadeia é uma técnica de derivação que usamos quando temos uma função dentro de outra função, tipo uma “bola de mato”. Vamos precisar conhecer essa regra e também saber derivar funções básicas como potências e seno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes internas da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Aqui, temos uma função composta:
- A função externa é algo elevado a
. - A função interna dentro dos colchetes é
.
Então, vamos chamar:
Assim, nossa função
fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
usando a regra da cadeia. A regra diz que se temos
, então:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora precisamos encontrar
, que é a derivada de
.
Vamos derivar cada termo separadamente:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aqui, usamos a regra da cadeia novamente. Seja
, então:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos:
Queremos
, então vamos substituir
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Substituir na expressão de
:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto caracterizado por
.
A posição de uma partícula é dada por
. Quais são as expressões correspondentes para a velocidade
e aceleração
. Assumindo que
e
, faça os gráficos de
e
para
.
Use a regra de L
Para a seguinte função encontre os seus pontos de extremo local e os intervalos nos quais ela é crescente ou decrescente: