Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto
especificado, se existir:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto
é aquela que “toca” a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Então, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente em
.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente, usamos a derivada da função
. A derivada
nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto
, ou seja, é a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora que temos
, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
por 1 na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente (
) e o ponto
, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa equação para a forma mais comum:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Sabendo que sen
e que
é um ângulo do
quadrante, calcule:
e
.
Um ponto móvel desloca-se ao longo da circunferência
, com uma velocidade cuja componente em
é dada por
. Calcule
. Sendo o deslocamento angular do móvel, medida a partir do ponto
no sentido anti-horário, calcule
. Este móvel desloca-se na circunferência no sentido horário ou anti-horário?
Simplifique as expressões:
Determine o conjunto solução das equações trigonométricas no intervalo
.