Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto especificado, se existir:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é aquela que “toca” a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Então, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente em .

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente, usamos a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto , ou seja, é a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos por 1 na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
Substituindo , e :

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa equação para a forma mais comum:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é .

Exercícios relacionados

Sabendo que sen e que é um ângulo do quadrante, calcule: e .
Um ponto móvel desloca-se ao longo da circunferência , com uma velocidade cuja componente em é dada por . Calcule . Sendo o deslocamento angular do móvel, medida a partir do ponto no sentido anti-horário, calcule . Este móvel desloca-se na circunferência no sentido horário ou anti-horário?
Simplifique as expressões:
Determine o conjunto solução das equações trigonométricas no intervalo .