Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e retas tangentes em cálculo. Vamos precisar saber como calcular a derivada da função arctangente e usar a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva ali. Para encontrar essa reta, precisamos da coordenada do ponto e da inclinação da reta, que é dada pela derivada da função no ponto.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de . A derivada de é:
Isso nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .
Passo 5
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para a forma :
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é: