Resolva as integrais de funções trigonométricas:
(o) integral sen(5 x) sen(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de funções trigonométricas que você me passou: . A matéria que vamos usar aqui envolve identidades trigonométricas para transformar o produto de senos em uma soma, facilitando a integração. Vamos precisar da identidade de produto para soma das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade que transforma o produto de senos em soma de cossenos:
sin(Ax) sin(Bx) = cos((A - B)x) - cos((A + B)x)2
No nosso caso, sin(5x) sin(3x) = cos((5 - 3)x) - cos((5 + 3)x)2 = cos(2x) - cos(8x)2 e . Então, substituindo na identidade:

Passo 3

Agora, a integral original fica mais simples de resolver:
integral sin(5x) sin(3x) , dx = integral cos(2x) - cos(8x)2 , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
= 12 integral cos(2x) , dx - 12 integral cos(8x) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 12 integral cos(2x) , dx = 12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4 é 12 integral cos(8x) , dx = 12 cdot sin(8x)8 = sin(8x)16 . Aplicando isso:

Passo 5

Juntando os resultados das integrais, temos:
integral sin(5x) sin(3x) , dx = sin(2x)4 - sin(8x)16 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral sin(5x) sin(3x) , dx = sin(2x)4 - sin(8x)16 + C

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