Usando as propriedades vistas em aula, justifique a igualdade abaixo: lim t -infty t+1t^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de t+1t^2+1 quando t tende a menos infinito. Isso está ligado ao conteúdo de limites no cálculo, onde a gente analisa o comportamento de uma função quando a variável fica muito grande ou muito pequena. Pra resolver isso, vamos precisar entender como os termos do numerador e do denominador se comportam quando t vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os graus dos termos no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é t (grau 1), e no denominador é t^2 (grau 2). Quando t tende a menos infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.

Passo 3

Agora, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por t^2, que é o maior grau presente no denominador. Isso ajuda a simplificar a expressão e entender melhor o limite.
t + 1t^2 + 1 = tt^2 + 1t^2t^2t^2 + 1t^2 = 1t + 1t^21 + 1t^2

Passo 4

Agora, vamos analisar cada termo separadamente quando t tende a menos infinito:
  • 1t tende a 0, porque quanto maior o valor absoluto de t, menor o valor de 1t.
  • 1t^2 também tende a 0 pelo mesmo motivo, mas de forma mais rápida.
Então, a expressão fica:
0 + 01 + 0 = 01 = 0

Resposta

Portanto, lim t -infty t+1t^2+1 = 0.

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