Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva no ponto indicado:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos a curva e um ponto específico sobre essa curva, que é . Nosso objetivo é encontrar as equações das retas tangente e normal a essa curva nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A função dada é , onde .
Usamos a regra da derivada da função composta (regra da cadeia):
Calculando :
Portanto, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal, , é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Portanto:
Passo 6
Usando a inclinação da reta normal e o ponto , aplicamos novamente a fórmula da reta:
Simplificando:
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .