Encontre a função derivada
da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso significa que vamos usar o limite para descobrir a taxa de variação dessa função. Além disso, vamos precisar identificar os domínios da função original e da sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso basicamente calcula o quanto
muda quando fazemos um pequeno incremento
em
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, subtraímos
de
:
Passo 5
Em seguida, dividimos essa diferença por
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Passo 7
Por fim, vamos determinar os domínios. A função original
é um polinômio, então seu domínio é todos os números reais, ou seja,
.
A derivada que encontramos,
, também é um polinômio e, portanto, seu domínio é igualmente todos os números reais,
.
Resposta
A derivada da função é
. Tanto a função original
quanto sua derivada possuem como domínio todos os números reais,
.