Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva no ponto indicado:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto (1,1). Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva. Lembrando que
pode ser escrita como
. Usando a regra de potência, a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto (1,1). Substituímos
na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto (1,1), podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
é a inclinação e
é o ponto. Substituindo os valores:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 5
Agora, para encontrar a equação da reta normal, precisamos da inclinação que é negativa e recíproca da inclinação da tangente. Se a inclinação da tangente é
, então a inclinação da normal é
.
Usando novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto (1,1) é
e a equação da reta normal é
.