Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva no ponto indicado:
y = raiz(4)(x),
1,1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto (1,1). Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva. Lembrando que pode ser escrita como . Usando a regra de potência, a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto (1,1). Substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto (1,1), podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto. Substituindo os valores:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 5

Agora, para encontrar a equação da reta normal, precisamos da inclinação que é negativa e recíproca da inclinação da tangente. Se a inclinação da tangente é , então a inclinação da normal é .
Usando novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é e a equação da reta normal é .

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