Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
A) , quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto na curva onde vamos calcular as retas. Como , substituímos na equação da curva para encontrar o :
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto. Para isso, calculamos a derivada de , que nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto :
Em :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo e o ponto :
Distribuindo o 2:
Isolando :
Então, a equação da reta tangente é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente e, por isso, sua inclinação será o negativo do inverso da inclinação da tangente. Ou seja:
Usando novamente a fórmula da reta com e o ponto :
Distribuindo o :
Isolando :
Então, a equação da reta normal é .
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto é e a equação da reta normal é .