Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
B) y = x^3, quando x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir essas retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto na curva onde . Para isso, substituímos por 1 na equação da curva:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de , que nos dá a inclinação da reta em qualquer ponto :

Passo 4

Substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 3.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Se , então:

Passo 7

Usamos novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal e o ponto :
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .

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cl D^(2 n) sen t=(-1)^n sen t, & D^(2 n) cos t=(-1)^n cos t D^(2 n) sen omega t=(-omega)^n sen omega t, & D^(2 n) cos omega t=(-omega^2)^n cos omega t