Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
B) , quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir essas retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto na curva onde . Para isso, substituímos por 1 na equação da curva:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de , que nos dá a inclinação da reta em qualquer ponto :
Passo 4
Substituímos na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 3.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente () e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Se , então:
Passo 7
Usamos novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal e o ponto :
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .
Resposta
A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .