Seja f(x) = {-x + 3, se x < 3; x - 3, se x ≥ 3}. A função f é diferenciável em 3 ? Justifique. É contínua em 3? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes:
A questão pede pra saber se essa função é diferenciável e contínua em . Vamos precisar entender de continuidade e diferenciabilidade de funções, especialmente quando estão definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade em . Uma função é contínua nesse ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em forem iguais.

Passo 3

Calculando o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):

Passo 4

Calculando o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ):

Passo 5

O valor da função em é:

Passo 6

Como os dois limites laterais são iguais a 0 e o valor da função em 3 também é 0, mostra que a função é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em . Para a função ser diferenciável nesse ponto, ela deve ser contínua (o que já vimos que é) e os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.

Passo 8

Calculando a derivada pela esquerda:
A função para é , cuja derivada é .

Passo 9

Calculando a derivada pela direita:
A função para é , cuja derivada é .

Passo 10

As derivadas laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita), então a função não é diferenciável em .

Resposta

A função é contínua em 3, mas não é diferenciável em 3.

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