Seja
. A função
é diferenciável em 3 ? Justifique. É contínua em 3? Justifique.
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida por partes:
A questão pede pra saber se essa função é diferenciável e contínua em
. Vamos precisar entender de continuidade e diferenciabilidade de funções, especialmente quando estão definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade em
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em
forem iguais.
Passo 3
Calculando o limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
):
Passo 4
Calculando o limite quando
se aproxima de 3 pela direita (
):
Passo 5
O valor da função em
é:
Passo 6
Como os dois limites laterais são iguais a 0 e o valor da função em 3 também é 0, mostra que a função é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
. Para a função ser diferenciável nesse ponto, ela deve ser contínua (o que já vimos que é) e os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Passo 8
Calculando a derivada pela esquerda:
A função para é
, cuja derivada é
.
A função para
Passo 9
Calculando a derivada pela direita:
A função para é
, cuja derivada é
.
A função para
Passo 10
As derivadas laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita), então a função não é diferenciável em
.
Resposta
A função
é contínua em 3, mas não é diferenciável em 3.
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Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Mostre que se existir
, então
é diferenciável em
e
, para todo
.