Encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado.
no plano
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma curva no plano
dada por
e precisa encontrar a equação da superfície que resulta ao girar essa curva em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de superfícies de revolução e coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Essa é uma hipérbole que se abre ao longo do eixo
. Agora, ao girar essa curva ao redor do eixo
, cada ponto
da curva vai gerar um círculo com raio igual a
no plano
para cada valor de
.
Passo 3
Para encontrar a equação da superfície de revolução, vamos considerar a simetria circular em torno do eixo
. O raio desse círculo em qualquer ponto é dado por
. Como a curva original é
, substituímos
por
na equação:
Passo 4
Então, a equação da superfície de revolução obtida ao girar a curva
em torno do eixo
é:
Resposta
A equação da superfície de revolução é
.
Exercícios relacionados
Faça um esboço do cilindro da equação dada:
.
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
, .
,
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.