Encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado.
z = 1/y^2 no plano y z, em torno do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma curva no plano dada por e precisa encontrar a equação da superfície que resulta ao girar essa curva em torno do eixo z. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de superfícies de revolução e coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Essa é uma hipérbole que se abre ao longo do eixo z. Agora, ao girar essa curva ao redor do eixo z, cada ponto da curva vai gerar um círculo com raio igual a y no plano xy para cada valor de z.

Passo 3

Para encontrar a equação da superfície de revolução, vamos considerar a simetria circular em torno do eixo z. O raio desse círculo em qualquer ponto é dado por . Como a curva original é , substituímos y^2 por r^2 na equação:

Passo 4

Então, a equação da superfície de revolução obtida ao girar a curva em torno do eixo z é:

Resposta

A equação da superfície de revolução é .

Exercícios relacionados

Faça um esboço do cilindro da equação dada:
z = e^x, y em R.
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = x^2 - y^2
, c = -9, c = -4, c = 0, c = 9.
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = raiz(3 x^2 + 3 y^2).
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = raiz(y - 1 - x^2).