Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos: eliminando o parametro primeiro.
ll i x=1+ln t e y=t^2+2, P(1,3) & ii x=tg theta e y=sec theta, P(1, raiz2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da tangente à curva em um ponto específico usando dois métodos diferentes, começando por eliminar o parâmetro. Vamos trabalhar com duas curvas paramétricas diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar a inclinação da tangente e depois montar a equação da reta. Vamos precisar entender como eliminar o parâmetro das equações e calcular a derivada para achar a inclinação.

Passo 2

Parte i. Vamos começar pela primeira curva: ln t = x - 1 implies t = e^x - 1 e y = (e^x - 1)^2 + 2 = e^2(x - 1) + 2 , com o ponto dydx = ddx (e^2(x - 1) + 2) = 2e^2(x - 1) .
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro dydxg|x=1 = 2e^2(1 - 1) = 2e^0 = 2 times 1 = 2 . Sabemos que y - y1 = m(x - x1) , então podemos resolver para y - 3 = 2(x - 1) implies y = 2x + 1 :
Agora, substituímos na equação de :
Agora temos em função de , sem o parâmetro .
Em seguida, vamos calcular a derivada para encontrar a inclinação da tangente no ponto :
No ponto :
Então, a inclinação da tangente é 2.
Agora, usamos a equação da reta tangente:
Substituindo e :

Passo 3

Parte ii. Agora vamos para a segunda curva: theta = arctan x e y = sec(arctan x) , com o ponto sec(arctan x) = raiz1 + x^2 .
Primeiro, eliminamos o parâmetro y = raiz1 + x^2 . Sabemos que dydx = ddx (raiz1 + x^2) = xraiz1 + x^2 , então podemos expressar dydxg|x=1 = 1raiz1 + 1 = 1raiz2 = raiz22 em termos de y - y1 = m(x - x1) :
y - raiz2 = raiz22(x - 1) implies y = raiz22x + raiz22
Agora, substituímos na equação de :
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:
Agora, vamos calcular a derivada para encontrar a inclinação da tangente no ponto :
No ponto :
Então, a inclinação da tangente é .
Agora, usamos a equação da reta tangente:
Substituindo e :

Resposta

As equações das tangentes são:
i.
ii.

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