Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos: eliminando o parametro primeiro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da tangente à curva em um ponto específico usando dois métodos diferentes, começando por eliminar o parâmetro. Vamos trabalhar com duas curvas paramétricas diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar a inclinação da tangente e depois montar a equação da reta. Vamos precisar entender como eliminar o parâmetro das equações e calcular a derivada para achar a inclinação.
Passo 2
Parte i. Vamos começar pela primeira curva: e , com o ponto .
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro . Sabemos que , então podemos resolver para :
Agora, substituímos na equação de :
Agora temos em função de , sem o parâmetro .
Em seguida, vamos calcular a derivada para encontrar a inclinação da tangente no ponto :
No ponto :
Então, a inclinação da tangente é 2.
Agora, usamos a equação da reta tangente:
Substituindo e :
Passo 3
Parte ii. Agora vamos para a segunda curva: theta = arctan x e y = sec(arctan x) , com o ponto sec(arctan x) = raiz1 + x^2 .
Primeiro, eliminamos o parâmetro y = raiz1 + x^2 . Sabemos que dydx = ddx (raiz1 + x^2) = xraiz1 + x^2 , então podemos expressar dydxg|x=1 = 1raiz1 + 1 = 1raiz2 = raiz22 em termos de y - y1 = m(x - x1) :
y - raiz2 = raiz22(x - 1) implies y = raiz22x + raiz22
Agora, substituímos na equação de :
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:
Agora, vamos calcular a derivada para encontrar a inclinação da tangente no ponto :