Qual o valor de c na equação lim x 3 x-33-raiz2 x+3=c
a) ( ) -6
b) ( ) 6
c) ( ) 0
d) ( ) 3
e) ( ) -3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor de lim x 3 x-33-raiz2 x+3 = c na seguinte equação de limite:
Matéria envolvida: Cálculo de limites, especificamente lidando com indeterminações do tipo .
O que vamos precisar: Entender o conceito de limite, saber identificar formas indeterminadas e aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3 - 33 - raiz2 times 3 + 3 = 03 - raiz9 = 03 - 3 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Nossos palpites, né? A gente acaba com a forma indeterminada . Isso significa que precisamos aplicar outra técnica para resolver esse limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como ddx(x - 3) = 1 , uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se o limite de ddx(raiz2x + 3) = 12raiz2x + 3 times 2 = 1raiz2x + 3 resulta em ddx(3 - raiz2x + 3) = 0 - 1raiz2x + 3 = -1raiz2x + 3 ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e recalcular o limite.
Vamos aplicar isso aqui:
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador ( ):
  • Derivada do denominador ( ):
Para derivar , vamos usar a regra da cadeia:
Então, a derivada do denominador fica:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelas derivadas que encontramos:
lim x 3 1 -1raiz2x + 3 = lim x 3 ( -raiz2x + 3 )
Agora, é só substituir - raiz2 times 3 + 3 = -raiz6 + 3 = -raiz9 = -3 na expressão simplificada:

Resposta

O valor de é -3.
Alternativa correta: e)

Exercícios relacionados