Marque o intervalo em que a função
tem uma raiz.
a)
)
b)
)
c)
)
d)
)
e)
)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em qual intervalo a função
tem uma raiz. Isso significa encontrar onde a função cruza o eixo
, ou seja, onde
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que se a função muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada opção de intervalo propõe. Precisamos verificar em qual desses intervalos a função muda de sinal. Para isso, vamos calcular o valor de
nos extremos de cada intervalo e ver se há mudança de sinal.
Passo 3
Vamos começar com a opção a)
.
Calculando
:
Simplificando:
Calculando
:
Simplificando:
Como
e
são ambos positivos, não há mudança de sinal nesse intervalo. Portanto, a opção a) não contém uma raiz.
Passo 4
Vamos para a opção b)
.
Calculando
:
Simplificando:
Calculando
:
Aqui,
é negativo e
também é negativo. Não há mudança de sinal, então a opção b) também não tem uma raiz.
Passo 5
Agora, vamos para a opção c)
.
Já calculamos
.
Calculando
:
Ambos os valores são positivos, então não há mudança de sinal nesse intervalo. A opção c) também está fora.
Passo 6
Vamos para a opção d)
.
Calculando
:
Já sabemos que
.
Aqui, ambos os valores são negativos, mas vamos verificar mais pontos para ter certeza.
Vamos calcular
que já vimos anteriormente.
Então, entre
e
, temos:
- Em
: (negativo) - Em
: (positivo) - Em
: (negativo)
Como a função muda de negativo para positivo e depois para negativo dentro desse intervalo, isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 7
Por fim, vamos verificar a opção e)
.
Calculando
e
.
Aqui, há uma mudança de sinal de positivo para negativo, o que indica uma raiz nesse intervalo também.
Resposta
A função
tem uma raiz no intervalo d)
.