Marque o intervalo em que a função f(x) = 2*x^3 - 3*x^2 - x/2 + 3/4 tem uma raiz.
a) () ) (-2/5, 2/5)
b) () ) (3/4, 1)
c) () ) (-2/5, 0)
d) () ) -1, 3/4
e) () ) (2/5, 3/4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em qual intervalo a função tem uma raiz. Isso significa encontrar onde a função cruza o eixo , ou seja, onde . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que se a função muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada opção de intervalo propõe. Precisamos verificar em qual desses intervalos a função muda de sinal. Para isso, vamos calcular o valor de nos extremos de cada intervalo e ver se há mudança de sinal.

Passo 3

Vamos começar com a opção a) .
Calculando :
Simplificando:
Calculando :
Simplificando:
Como e são ambos positivos, não há mudança de sinal nesse intervalo. Portanto, a opção a) não contém uma raiz.

Passo 4

Vamos para a opção b) .
Calculando :
Simplificando:
Calculando :
Aqui, é negativo e também é negativo. Não há mudança de sinal, então a opção b) também não tem uma raiz.

Passo 5

Agora, vamos para a opção c) .
Já calculamos .
Calculando :
Ambos os valores são positivos, então não há mudança de sinal nesse intervalo. A opção c) também está fora.

Passo 6

Vamos para a opção d) .
Calculando :
Já sabemos que .
Aqui, ambos os valores são negativos, mas vamos verificar mais pontos para ter certeza.
Vamos calcular que já vimos anteriormente.
Então, entre e , temos:
  • Em : (negativo)
  • Em : (positivo)
  • Em : (negativo)
Como a função muda de negativo para positivo e depois para negativo dentro desse intervalo, isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 7

Por fim, vamos verificar a opção e) .
Calculando e .
Aqui, há uma mudança de sinal de positivo para negativo, o que indica uma raiz nesse intervalo também.

Resposta

A função tem uma raiz no intervalo d) .

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