Encontre dy/dx e d²y/dx². Para quais valores de t a curva é concava pra cima?
x = 4 + t^2 e y = t^3 + t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a primeira e a segunda derivada de em relação a , ou seja, e . Além disso, queremos saber para quais valores de a curva é côncava para cima. As funções que vamos trabalhar são e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar e . Essas derivadas nos ajudarão a calcular .
Calculando:

Passo 3

Agora, usamos a regra da cadeia para encontrar . A fórmula é:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, derivamos em relação a e dividimos por :
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, dividimos pelo valor de :

Passo 5

Por último, queremos saber para quais valores de a curva é côncava para cima. Isso acontece quando a segunda derivada é positiva:
Resolvendo a desigualdade:
Então, a curva é côncava para cima quando é maior que zero.

Resposta

A curva é côncava para cima para todos os valores de onde .

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