Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e mínimo locais de .

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo, além de identificar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo. Para derivar uma função quociente como essa, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função , então sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 5

Para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos analisar o sinal da derivada . Primeiro, vamos achar onde a derivada é zero ou indefinida.
A derivada será zero quando o numerador for zero:
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 6

Resolvendo a equação :
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
A derivada também é indefinida quando o denominador for zero, ou seja, quando:

Passo 7

Agora, temos pontos críticos em , (assimptota vertical) e . Vamos dividir a reta real nesses intervalos:
Vamos analisar o sinal de em cada intervalo para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 8

Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na derivada :
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está crescente neste intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está decrescente neste intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está decrescente neste intervalo.
  4. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, está crescente neste intervalo.

Passo 9

Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos locais usando os pontos críticos e :
  • No x = 4:
    • Antes de 4, a função está crescendo.
    • Depois de 4, a função começa a decrescer.
    • Isso indica um máximo local em .
  • No x = 6:
    • Antes de 6, a função está decrescendo.
    • Depois de 6, a função começa a crescer.
    • Isso indica um mínimo local em .

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente nos intervalos e .
Além disso, a função possui:
  • Um máximo local no ponto .
  • Um mínimo local no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre os números críticos da função.
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
Escreva a integral que nos dá a inversão da ordem de integração de . Faça um esboço da região de integração.