Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os intervalos onde a função
está aumentando ou diminuindo, além de identificar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo. Para derivar uma função quociente como essa, usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função
, então sua derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 5
Para encontrar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos analisar o sinal da derivada
. Primeiro, vamos achar onde a derivada é zero ou indefinida.
A derivada será zero quando o numerador for zero:
Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
A derivada também é indefinida quando o denominador for zero, ou seja, quando:
Passo 7
Agora, temos pontos críticos em
,
(assimptota vertical) e
. Vamos dividir a reta real nesses intervalos:
Vamos analisar o sinal de
em cada intervalo para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 8
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na derivada
:
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está crescente neste intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está decrescente neste intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está decrescente neste intervalo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,está crescente neste intervalo. - Escolha
Passo 9
Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos locais usando os pontos críticos
e
:
-
No x = 4:
- Antes de 4, a função está crescendo.
- Depois de 4, a função começa a decrescer.
- Isso indica um máximo local em
.
-
No x = 6:
- Antes de 6, a função está decrescendo.
- Depois de 6, a função começa a crescer.
- Isso indica um mínimo local em
.
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente nos intervalos
e .
Além disso, a função possui:
- Um máximo local no ponto
. - Um mínimo local no ponto
.
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. Faça um esboço da região de integração.