Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
x(t) = 3 cos(t), y(t) = 2 sen(t), t em [0, 2 pi]
Esboce a curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva paramétrica definida por:
Esse tipo de equação descreve como as coordenadas e mudam conforme o parâmetro varia. Hoje, vamos transformar isso em uma equação vetorial e entender como desenhar essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação vetorial. Em vez de separar e , a gente junta elas em um vetor posição. Isso facilita visualizar a trajetória no plano.

Passo 3

A equação vetorial geral de uma curva no plano é:
Então, substituindo as funções que a gente tem:

Passo 4

Agora, vamos esboçar a curva. Observando as funções e , sabemos que elas descrevem um círculo, mas com coeficientes diferentes, isso significa que a gente tem uma elipse. Os coeficientes 3 e 2 são os semi-eixos da elipse.

Resposta

A equação vetorial da curva é:
E o esboço da curva é uma elipse com semi-eixo maior de 3 unidades e semi-eixo menor de 2 unidades.

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