Nos exercícios 8 a 12 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|.
10. lim x -2 x^2-4x+2=-4 , varepsilon=0,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem um limite e um . Nosso objetivo é encontrar um número tal que, sempre que , a desigualdade seja verdadeira. Aqui, e . Vamos usar conceitos de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função f(x) = x^2 - 4x + 2 . Observe que:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Isso pode ser fatorado no numerador:
f(x) = (x - 2)(x + 2)x + 2 = x - 2 (para x neq -2)
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos | (x - 2) - (-4) | < 0,1 . Substituindo | x - 2 + 4 | = |x + 2| < 0,1 e :
Simplificando dentro do valor absoluto:

Passo 4

Então, a condição que precisamos satisfazer é:
|x + 2| < 0,1
Isso significa que a distância entre e deve ser menor que .

Passo 5

Portanto, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos , que é exatamente o que o exercício pede.

Resposta

O número é .

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