Nos exercícios 8 a 12 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que .
10. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem um limite e um . Nosso objetivo é encontrar um número tal que, sempre que , a desigualdade seja verdadeira. Aqui, e . Vamos usar conceitos de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observe que:
Isso pode ser fatorado no numerador:
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos . Substituindo e :
Simplificando dentro do valor absoluto:

Passo 4

Então, a condição que precisamos satisfazer é:
Isso significa que a distância entre e deve ser menor que .

Passo 5

Portanto, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos , que é exatamente o que o exercício pede.

Resposta

O número é .

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