Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
10.
.
10.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem um limite
e um
. Nosso objetivo é encontrar um número
tal que, sempre que
, a desigualdade
seja verdadeira. Aqui,
e
. Vamos usar conceitos de limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Observe que:
Isso pode ser fatorado no numerador:
Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos
. Substituindo
e
:
Simplificando dentro do valor absoluto:
Passo 4
Então, a condição que precisamos satisfazer é:
Isso significa que a distância entre
e
deve ser menor que
.
Passo 5
Portanto, podemos escolher
. Assim, sempre que
, teremos
, que é exatamente o que o exercício pede.
Resposta
O número
é
.
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, fazendo a mudança de variáveis
.
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