Resolva a EDO homogênea
, fazendo a mudança de variáveis
.
Passo 1
Beleza, temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea dada por:
Vamos resolver essa EDO usando a mudança de variável
. Para isso, precisamos entender conceitos de EDOs homogêneas e mudanças de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando os termos:
Passo 4
Podemos cancelar
no numerador e denominador:
Agora, vamos reorganizar para separar as variáveis
e
:
Passo 5
Simplificando o lado direito da equação:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Integramos ambos os lados:
Vamos simplificar a fração à esquerda. Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Resolvendo as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Podemos combinar os logaritmos:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Onde
é uma nova constante.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.
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Esboce a curva.
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Nos exercícios 8 a 12 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
.
10. .
10.
Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece a lei de Newton do Resfriamento de corpos. Se o café está a uma temperatura de
logo depois de coado e um minuto depois a temperatura diminui para
em uma cozinha que se encontra a uma temperatura de
, determine o tempo que o café levará para chegar a uma temperatura de
.