Resolva a EDO homogênea d y/d x = (4 x^2 y - y^3) / (x^3 - 2 x y^2), fazendo a mudança de variáveis v = y/x.

Passo 1

Beleza, temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea dada por:
Vamos resolver essa EDO usando a mudança de variável . Para isso, precisamos entender conceitos de EDOs homogêneas e mudanças de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando os termos:

Passo 4

Podemos cancelar no numerador e denominador:
Agora, vamos reorganizar para separar as variáveis e :

Passo 5

Simplificando o lado direito da equação:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Integramos ambos os lados:
Vamos simplificar a fração à esquerda. Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
Resolvendo as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Podemos combinar os logaritmos:
Elevando ambos os lados como potência de :
Onde é uma nova constante.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados