Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de reta que liga os pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional e aprender a construir a reta a partir de dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta está seguindo e é obtido subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta pode ser expressa da seguinte forma:
Aqui:
  • é o vetor posição do ponto inicial , ou seja, .
  • é um parâmetro real que varia.
  • é o vetor diretor que encontramos no passo anterior.
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos separar a equação vetorial em equações paramétricas para cada coordenada , e :
Essas equações descrevem como cada coordenada varia em função do parâmetro .

Passo 5

Como o exercício pede especificamente o segmento de reta entre e , precisamos restringir o valor de para que a reta não se estenda indefinidamente. Nesse caso, deve variar de 0 a 1:
Isso garante que quando , estamos no ponto , e quando , estamos no ponto .

Resposta

Equação Vetorial do Segmento de Reta:
Equações Paramétricas do Segmento de Reta:

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Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga e .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Calcule a área da região delimitada pelas retas e .