Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de reta que liga os pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional e aprender a construir a reta a partir de dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta está seguindo e é obtido subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Então, o vetor diretor é .
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta pode ser expressa da seguinte forma:
Aqui:
é o vetor posição do ponto inicial , ou seja, .
é um parâmetro real que varia.
é o vetor diretor que encontramos no passo anterior.
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos separar a equação vetorial em equações paramétricas para cada coordenada , e :
Essas equações descrevem como cada coordenada varia em função do parâmetro .
Passo 5
Como o exercício pede especificamente o segmento de reta entre e , precisamos restringir o valor de para que a reta não se estenda indefinidamente. Nesse caso, deve variar de 0 a 1:
Isso garante que quando , estamos no ponto , e quando , estamos no ponto .