Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t) = < t, cos(2t), sen(2t) >

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial . Isso envolve entender vetores no espaço tridimensional e como eles se comportam conforme o parâmetro t varia. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e trigonometria para desenhar essa curva e indicar a direção do crescimento de t com setas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A equação pode ser decomposta em três funções:
  • : Isso significa que, conforme t aumenta, a coordenada x aumenta linearmente.
  • : A coordenada y varia de acordo com o cosseno de , que oscila entre -1 e 1.
  • : A coordenada z varia de acordo com o seno de , também oscilando entre -1 e 1.

Passo 3

Vamos analisar a relação entre y(t) e z(t). Observamos que:
Sabemos que para qualquer ângulo theta. Aplicando isso:
Isso nos mostra que para todo valor de t, os pontos desenham um círculo unitário no plano .

Passo 4

Agora, vamos considerar a coordenada . Como x aumenta linearmente com t, enquanto formam um círculo unitário, a curva completa será uma hélice circular. Ou seja, uma espiral que sobe (ou desce) à medida que percorre o círculo no plano .

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo x, y e z perpendiculares entre si.
  2. No plano , desenhe um círculo de raio 1 centrado na origem.
  3. À medida que avançamos ao longo do eixo x, desenhe círculos sucessivos no plano , deslocados ao longo de x. Isso cria a hélice.
  4. Indique com setas a direção em que t cresce, que corresponde ao sentido em que a hélice está “subindo” conforme x aumenta.

Resposta

O gráfico da curva é uma hélice circular que sobe ao longo do eixo x. As setas no desenho indicam a direção crescente de t, mostrando a movimentação da hélice nesse sentido.

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