Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial
. Isso envolve entender vetores no espaço tridimensional e como eles se comportam conforme o parâmetro
varia. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e trigonometria para desenhar essa curva e indicar a direção do crescimento de
com setas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A equação
pode ser decomposta em três funções:
-
: Isso significa que, conforme aumenta, a coordenada aumenta linearmente. -
: A coordenada varia de acordo com o cosseno de , que oscila entre -1 e 1. -
: A coordenada varia de acordo com o seno de , também oscilando entre -1 e 1.
Passo 3
Vamos analisar a relação entre
e
. Observamos que:
Sabemos que
para qualquer ângulo
. Aplicando isso:
Isso nos mostra que para todo valor de
, os pontos
desenham um círculo unitário no plano
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a coordenada
. Como
aumenta linearmente com
, enquanto
formam um círculo unitário, a curva completa será uma hélice circular. Ou seja, uma espiral que sobe (ou desce) à medida que percorre o círculo no plano
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico:
- Desenhe o eixo
, e perpendiculares entre si. - No plano
, desenhe um círculo de raio 1 centrado na origem. - À medida que avançamos ao longo do eixo
, desenhe círculos sucessivos no plano , deslocados ao longo de . Isso cria a hélice. - Indique com setas a direção em que
cresce, que corresponde ao sentido em que a hélice está “subindo” conforme aumenta.
Resposta
O gráfico da curva
é uma hélice circular que sobe ao longo do eixo
. As setas no desenho indicam a direção crescente de
, mostrando a movimentação da hélice nesse sentido.
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