Encontre as equações paramétricas da curva definida pela intersecção do parabolóide, x=y^2+z^2 com o plano y=z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um parabolóide definido pela equação e um plano definido por . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas da curva que resulta da interseção dessas duas superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de superfícies e parametrização de curvas.

Passo 2

Vamos começar substituindo a equação do plano x = y^2 + y^2 = 2y^2 na equação do parabolóide . Como , podemos substituir por na equação do parabolóide:
Isso simplifica a equação do parabolóide considerando que estamos no plano onde .

Passo 3

Agora, temos uma relação entre x = 2y^2 e :
Como estamos trabalhando no plano , também sabemos que . Isso significa que pode ser expresso em termos de .

Passo 4

Para parametrizar a curva, vamos escolher uma variável livre, geralmente representada por z = y = t . Vamos deixar x = 2t^2 . Assim, podemos expressar como:
E, a partir da relação que encontramos para :

Passo 5

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos do parâmetro x = 2t^2, y = t, z = t :
Essas equações representam a posição de um ponto na curva de interseção para cada valor de .

Resposta

As equações paramétricas da curva de interseção são:
x = 2t^2 y = t z = t

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