Encontre as equações paramétricas da curva definida pela intersecção do parabolóide, com o plano .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um parabolóide definido pela equação e um plano definido por . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas da curva que resulta da interseção dessas duas superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de superfícies e parametrização de curvas.
Passo 2
Vamos começar substituindo a equação do plano na equação do parabolóide . Como , podemos substituir por na equação do parabolóide:
Isso simplifica a equação do parabolóide considerando que estamos no plano onde .
Passo 3
Agora, temos uma relação entre e :
Como estamos trabalhando no plano , também sabemos que . Isso significa que pode ser expresso em termos de .
Passo 4
Para parametrizar a curva, vamos escolher uma variável livre, geralmente representada por . Vamos deixar . Assim, podemos expressar como:
E, a partir da relação que encontramos para :
Passo 5
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos do parâmetro :
Essas equações representam a posição de um ponto na curva de interseção para cada valor de .
Resposta
As equações paramétricas da curva de interseção são: