Encontre as equações paramétricas da curva definida pela intersecção do parabolóide,
com o plano
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um parabolóide definido pela equação
e um plano definido por
. Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas da curva que resulta da interseção dessas duas superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de superfícies e parametrização de curvas.
Passo 2
Vamos começar substituindo a equação do plano
na equação do parabolóide
. Como
, podemos substituir
por
na equação do parabolóide:
Isso simplifica a equação do parabolóide considerando que estamos no plano onde
.
Passo 3
Agora, temos uma relação entre
e
:
Como estamos trabalhando no plano
, também sabemos que
. Isso significa que
pode ser expresso em termos de
.
Passo 4
Para parametrizar a curva, vamos escolher uma variável livre, geralmente representada por
. Vamos deixar
. Assim, podemos expressar
como:
E, a partir da relação que encontramos para
:
Passo 5
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos do parâmetro
:
Essas equações representam a posição de um ponto na curva de interseção para cada valor de
.
Resposta
As equações paramétricas da curva de interseção são: