Encontre as equações paramétricas da curva definida pela intersecção do parabolóide, com o plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um parabolóide definido pela equação e um plano definido por . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas da curva que resulta da interseção dessas duas superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de superfícies e parametrização de curvas.

Passo 2

Vamos começar substituindo a equação do plano na equação do parabolóide . Como , podemos substituir por na equação do parabolóide:
Isso simplifica a equação do parabolóide considerando que estamos no plano onde .

Passo 3

Agora, temos uma relação entre e :
Como estamos trabalhando no plano , também sabemos que . Isso significa que pode ser expresso em termos de .

Passo 4

Para parametrizar a curva, vamos escolher uma variável livre, geralmente representada por . Vamos deixar . Assim, podemos expressar como:
E, a partir da relação que encontramos para :

Passo 5

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos do parâmetro :
Essas equações representam a posição de um ponto na curva de interseção para cada valor de .

Resposta

As equações paramétricas da curva de interseção são:

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Faça um resumo com a classificação das quádricas que podemos obter, a partir da equação geral das quádricas.
Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
b) e uma base para W.
Sejam e o conjunto . Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente . Caso não, justifique!
Sejam e o conjunto . Determine:
b) Remova de A os vetores necessários para que A se torne um conjunto linearmente independente. Em seguida, acrescente ao conjunto A uma quantidade de vetores necessários para obter (a partir de A) um conjunto que seja uma base para . Apresente o conjunto S obtido conforme pedido.