Faça um resumo com a classificação das quádricas que podemos obter, a partir da equação geral das quádricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer um resumo sobre a classificação das quádricas a partir da equação geral das quádricas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender a equação geral das quádricas e como identificar os diferentes tipos de superfícies que ela pode representar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral das quádricas. Ela é dada por:
Aqui,
e
são coeficientes que determinam o tipo de superfície que estamos lidando.
Passo 3
Agora, para classificar as quádricas, a gente precisa analisar os coeficientes dessa equação. O comportamento da quádricas depende principalmente dos termos quadráticos (
) e dos termos mistos (
). Vamos ver algumas classificações básicas:
Passo 4
1. Elipsoide: Se todos os coeficientes dos termos quadráticos (
) são positivos e não há termos mistos, a equação representa um elipsoide. É uma superfície fechada e simétrica nos três eixos.
2. Esfera: É um caso especial do elipsoide onde
. A equação fica simplificada e a superfície é perfeitamente redonda, igual em todas as direções.
Passo 5
3. Hipérboloide de uma folha: Se dois coeficientes quadráticos são positivos e um é negativo (ou vice-versa) e não há termos mistos, temos um hipérboloide de uma folha. Ele parece uma sela estendida em uma direção.
4. Hipérboloide de duas folhas: Similar ao anterior, mas com a configuração dos sinais dos coeficientes quadráticos invertida. Esse tipo tem duas “folhas” separadas.
Passo 6
5. Paraboloide Elíptico: Se a equação tem apenas um termo quadrático e não há termos mistos, forma um paraboloide elíptico. Esse tipo de superfície se assemelha a um prato ou uma cúpula.
6. Paraboloide Hiperbólico: Quando a equação possui dois termos quadráticos com sinais opostos e um termo linear, resulta em um paraboloide hiperbólico, que parece uma sela.
Passo 7
7. Cone Duplo: Se a equação general das quádricas pode ser fatorada em dois planos, formando um ângulo, temos um cone duplo. Ele consiste em duas superfícies cônicas que se encontram em uma linha.
8. Cilindros Cônicos: Quando a equação das quádricas não inclui um termo quadrático em uma das variáveis, a superfície é um cilindro cônico, que é basicamente uma réplica infinita de uma cônica ao longo de um eixo.
Passo 8
Além dessas, existem outras classificações mais específicas, mas essas são as principais que costumamos encontrar. A análise detalhada dos coeficientes e a aplicação de métodos como completar o quadrado ajudam a identificar exatamente qual quádricas estamos lidando.
Resposta
As quádricas podem ser classificadas a partir da equação geral das quádricas em elipsoides, esferas, hipérboloides de uma e duas folhas, paraboloides elípticos e hiperbólicos, cones duplos e cilindros cônicos, dependendo dos coeficientes dos termos quadráticos e mistos na equação.
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Sejam
e
um subespaço vetorial de
gerado pelos vetores do conjunto
. Determine:
b) e uma base para W.
b)
Encontre matrizes não-nulas
tais que
Encontre as equações paramétricas da curva definida pela intersecção do parabolóide,
com o plano
.
Sejam
e o conjunto
. Determine:
a) Se pode ser escrito como combinação dos elementos de A. Caso sim, apresente
. Caso não, justifique!
a) Se