Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
b) e uma base para W.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de quatro matrizes que geram um subespaço dentro de , que é o espaço de todas as matrizes 2x2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão de e encontrar uma base para . Para isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e independência linear. Vamos desmontar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas matrizes que geram :
Para facilitar nossos cálculos, vamos transformar cada matriz em um vetor. Isso significa que vamos pegar cada entrada da matriz e colocá-la em um vetor 4-dimensional. Por exemplo, a primeira matriz vira o vetor . Fazendo isso para todas as matrizes, temos:
Agora, vamos trabalhar com esses vetores para descobrir quantos deles são linherente independentemente, ou seja, quantos realmente trazem uma nova direção para o espaço .
Passo 3
Vamos montar uma matriz aumentado com esses vetores como linhas para facilitar a visualização:
Nosso objetivo aqui é reduzir essa matriz a uma forma simplificada, usando operações elementares de linha, para identificar quais vetores são independentes.
Passo 4
Vamos começar subtraindo a primeira linha da terceira e da quarta para eliminar os termos duplicados: