Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
b) e uma base para W.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de quatro matrizes que geram um subespaço dentro de , que é o espaço de todas as matrizes 2x2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão de e encontrar uma base para . Para isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e independência linear. Vamos desmontar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas matrizes que geram :
Para facilitar nossos cálculos, vamos transformar cada matriz em um vetor. Isso significa que vamos pegar cada entrada da matriz e colocá-la em um vetor 4-dimensional. Por exemplo, a primeira matriz vira o vetor . Fazendo isso para todas as matrizes, temos:
Agora, vamos trabalhar com esses vetores para descobrir quantos deles são linherente independentemente, ou seja, quantos realmente trazem uma nova direção para o espaço .
Passo 3
Vamos montar uma matriz aumentado com esses vetores como linhas para facilitar a visualização:
Nosso objetivo aqui é reduzir essa matriz a uma forma simplificada, usando operações elementares de linha, para identificar quais vetores são independentes.
Passo 4
Vamos começar subtraindo a primeira linha da terceira e da quarta para eliminar os termos duplicados:
Linha 3:
Linha 4:
Agora a matriz fica assim:
Passo 5
Observamos que as últimas duas linhas são múltiplos umas das outras. Vamos simplificar mais:
Linha 3: , então podemos substituir a linha 3 por .
Linha 4: , então podemos substituir a linha 4 por .
A matriz agora fica:
Passo 6
Agora, a matriz está na forma escalonada, e podemos contar o número de linhas não nulas para determinar a dimensão. Temos duas linhas não nulas:
Isso significa que a dimensão de é 2.
Passo 7
Para encontrar uma base para , basta pegar essas duas linhas não nulas e voltar para as matrizes originais:
Essas duas matrizes são suficientes para gerar todo o subespaço e são linearmente independentes.
Resposta
A dimensão de é 2 e uma base para é formada pelas matrizes: