Sejam V=M2 e W um subespaço vetorial de V gerado pelos vetores do conjunto A=[ll1 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 1 & 1],[ll1 & 1 2 & 2],[ll2 & 2 3 & 3]. Determine:
b) dim(W) e uma base para W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de quatro matrizes que geram um subespaço dentro de , que é o espaço de todas as matrizes 2x2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão de e encontrar uma base para . Para isso, vamos precisar entender sobre combinações lineares e independência linear. Vamos desmontar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas matrizes que geram A = 1 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 1 , 1 & 1 2 & 2 , 2 & 2 3 & 3 :
v1 &= (1, 1, 0, 0) v2 &= (0, 0, 1, 1) v3 &= (1, 1, 2, 2) v4 &= (2, 2, 3, 3)
Para facilitar nossos cálculos, vamos transformar cada matriz em um vetor. Isso significa que vamos pegar cada entrada da matriz e colocá-la em um vetor 4-dimensional. Por exemplo, a primeira matriz vira o vetor . Fazendo isso para todas as matrizes, temos:
Agora, vamos trabalhar com esses vetores para descobrir quantos deles são linherente independentemente, ou seja, quantos realmente trazem uma nova direção para o espaço .

Passo 3

Vamos montar uma matriz aumentado com esses vetores como linhas para facilitar a visualização:
1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 2 2 & 2 & 3 & 3
Nosso objetivo aqui é reduzir essa matriz a uma forma simplificada, usando operações elementares de linha, para identificar quais vetores são independentes.

Passo 4

Vamos começar subtraindo a primeira linha da terceira e da quarta para eliminar os termos duplicados:
  1. Linha 3: 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 3 & 3
  2. Linha 4:
Agora a matriz fica assim:

Passo 5

Observamos que as últimas duas linhas são múltiplos umas das outras. Vamos simplificar mais:
  1. Linha 3: 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 , então podemos substituir a linha 3 por .
  2. Linha 4: , então podemos substituir a linha 4 por .
A matriz agora fica:

Passo 6

Agora, a matriz está na forma escalonada, e podemos contar o número de linhas não nulas para determinar a dimensão. Temos duas linhas não nulas:
Isso significa que a dimensão de é 2.

Passo 7

Para encontrar uma base para Base de W = 1 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 1 , basta pegar essas duas linhas não nulas e voltar para as matrizes originais:
Essas duas matrizes são suficientes para gerar todo o subespaço e são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão de 1 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 1 é 2 e uma base para é formada pelas matrizes:

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