Encontre equações paramétricas da reta tangente a C em P, nos seguintes casos:
(d) C: r(t) = 3 t^2 i + t^3 j + 6 t k, P = (3, 1, 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A gente tem uma curva no espaço, definida por , e precisamos achar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas vetoriais e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Sabemos que . Igualando cada componente ao ponto :
Resolvendo:
ãçõ

Passo 3

Agora que sabemos que no ponto , vamos encontrar o vetor derivada , que representa a direção da reta tangente.
Substituindo :

Passo 4

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas é:
Onde é o ponto pela qual a reta passa e são as componentes do vetor direção.

Passo 5

Aplicando os valores:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente a no ponto são:

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