Dos seguintes subconjuntos de diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar o conjunto . Esse conjunto representa todos os pontos no plano que estão dentro do círculo de raio 1, mas sem incluir a borda. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de conjuntos abertos, fechados, limitados e suas fronteiras.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto é aberto. Um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, conseguimos desenhar um pequeno “bolha” ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. No nosso caso, como sempre temos uma “folga” dentro do círculo (já que não inclui a borda), podemos sempre desenhar essa bolha. Então, o conjunto é aberto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. No nosso caso, a fronteira é o próprio círculo , mas nosso conjunto não inclui esses pontos. Portanto, ele não é fechado.

Passo 4

Em seguida, vamos ver se o conjunto é limitado. Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão a uma distância finita de algum ponto fixo, geralmente a origem. No nosso caso, todos os pontos estão dentro do círculo de raio 1, então estão a no máximo distância 1 da origem. Logo, o conjunto é limitado.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a fronteira do conjunto. A fronteira consiste em todos os pontos onde qualquer “pequeno” movimento leva de dentro para fora do conjunto. Aqui, a fronteira é o círculo , porque qualquer ponto nessa circunferência está na “limite” entre estar dentro e fora do conjunto.

Resposta

O conjunto é aberto, limitado, não é fechado, e sua fronteira é o círculo .

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o)
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