Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros e no ponto
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva de interseção dos cilindros e no ponto . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como derivadas parciais e vetores normais, para determinar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada cilindro é definido por uma equação. O cilindro é um cilindro circular com raio 5, orientado ao longo do eixo y. Já o cilindro também é um cilindro circular com raio 5, mas orientado ao longo do eixo x. A interseção desses dois cilindros forma uma curva no espaço 3D. Nosso objetivo é achar a reta tangente a essa curva no ponto .
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar o vetor diretor dessa reta. Esse vetor diretor será perpendicular aos vetores normais de cada cilindro no ponto . Os vetores normais podem ser encontrados calculando o gradiente das funções que definem os cilindros em .
Passo 4
Vamos calcular os gradientes das funções dos cilindros:
Para ,
No ponto , fica:
Para ,
No ponto , fica:
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor diretor da reta tangente, calculamos o produto vetorial dos gradientes e :
Calculando:
Simplificando, podemos dividir por 12:
Passo 6
Com o vetor diretor e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente: