Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros e no ponto

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva de interseção dos cilindros e no ponto . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como derivadas parciais e vetores normais, para determinar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada cilindro é definido por uma equação. O cilindro é um cilindro circular com raio 5, orientado ao longo do eixo y. Já o cilindro também é um cilindro circular com raio 5, mas orientado ao longo do eixo x. A interseção desses dois cilindros forma uma curva no espaço 3D. Nosso objetivo é achar a reta tangente a essa curva no ponto .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar o vetor diretor dessa reta. Esse vetor diretor será perpendicular aos vetores normais de cada cilindro no ponto . Os vetores normais podem ser encontrados calculando o gradiente das funções que definem os cilindros em .

Passo 4

Vamos calcular os gradientes das funções dos cilindros:
Para ,
No ponto , fica:
Para ,
No ponto , fica:

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor diretor da reta tangente, calculamos o produto vetorial dos gradientes e :
Calculando:
Simplificando, podemos dividir por 12:

Passo 6

Com o vetor diretor e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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em torno do eixo
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