Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Calcule a área da região

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um conjunto de curvas definidas por equações e precisamos desenhar a região que elas delimitam. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano cartesiano e encontrar onde elas se interceptam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada uma das curvas:
Vamos analisar cada uma delas:
  • : Essa é uma parábola que abre para a esquerda, com vértice em (2, 0).
  • : Essa é outra parábola que abre para a direita, com vértice em (-2, 0).
  • : Essa é uma função valor absoluto, formando um “V” simétrico em relação ao eixo y.
  • : Essa é uma parábola que abre para cima, com vértice em (0, -2).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para saber onde elas se encontram.
  • Interseção entre e :
    Substituindo em uma das equações:
    Então, os pontos de interseção são (0, ) e (0, ).
  • Interseção entre e :
    Considerando :
    Resolvendo a equação quadrática:
    Então, , logo .
    Considerando :
    Resolvendo:
    Então, , logo .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos esboçar as curvas e identificar a região delimitada por elas.
  • As parábolas e se abrem horizontalmente e se cruzam no eixo y.
  • A função forma um “V” que cruza as parábolas nas alturas e .
  • A parábola está abaixo do eixo y e intersecta o “V” em (2, 2) e (-2, 2).
A região delimitada por essas curvas é uma espécie de “fechadura” simétrica em relação ao eixo y.

Passo 5

Para calcular a área dessa região, vamos integrar as diferenças das funções que formam os limites superior e inferior da região.
Observando o esboço, podemos ver que a região está limitada entre (parte inferior) e (parte superior) para entre -2 e 2.
A área pode ser calculada por:
Como a função é simétrica em relação ao eixo y, podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Integrando:
Calculando de 0 a 2:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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em torno do eixo
, em torno do eixo
Se for contínua em , demonstre que