Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Calcule a área da região
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um conjunto de curvas definidas por equações e precisamos desenhar a região que elas delimitam. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano cartesiano e encontrar onde elas se interceptam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar cada uma das curvas:
Vamos analisar cada uma delas:
-
: Essa é uma parábola que abre para a esquerda, com vértice em (2, 0). -
: Essa é outra parábola que abre para a direita, com vértice em (-2, 0). -
: Essa é uma função valor absoluto, formando um “V” simétrico em relação ao eixo y. -
: Essa é uma parábola que abre para cima, com vértice em (0, -2).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para saber onde elas se encontram.
-
Interseção entre
e : Substituindo em uma das equações:Então, os pontos de interseção são (0,) e (0, ). -
Interseção entre
e : Considerando: Resolvendo a equação quadrática:Então,, logo . Considerando: Resolvendo:Então,, logo .
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos esboçar as curvas e identificar a região delimitada por elas.
- As parábolas
e se abrem horizontalmente e se cruzam no eixo y. - A função
forma um “V” que cruza as parábolas nas alturas e . - A parábola
está abaixo do eixo y e intersecta o “V” em (2, 2) e (-2, 2).
A região delimitada por essas curvas é uma espécie de “fechadura” simétrica em relação ao eixo y.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, vamos integrar as diferenças das funções que formam os limites superior e inferior da região.
Observando o esboço, podemos ver que a região está limitada entre
(parte inferior) e
(parte superior) para
entre -2 e 2.
A área
pode ser calculada por:
Como a função é simétrica em relação ao eixo y, podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Integrando:
Calculando de 0 a 2:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
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e
no ponto
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do elipsoide
no ponto
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região de limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
, em torno do eixo
Se
for contínua em
, demonstre que