Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção do paraboloide do elipsoide no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente à curva de interseção entre um paraboloide e um elipsoide no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como gradientes e produtos vetoriais, para determinar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das superfícies:
Paraboloide:
Elipsoide:
Queremos encontrar a reta tangente à curva onde essas duas superfícies se cruzam no ponto .
Passo 3
Para encontrar a direção da reta tangente, precisamos calcular os gradientes das duas superfícies no ponto . O gradiente de uma função nos dá um vetor perpendicular à superfície naquele ponto.
Vamos reescrever as equações das superfícies para facilitar o cálculo dos gradientes:
Paraboloide:
Elipsoide:
Passo 4
Agora, calculamos os gradientes:
Gradiente do paraboloide ():
No ponto :
Gradiente do elipsoide ():
No ponto :
Passo 5
A direção da reta tangente à curva de interseção das duas superfícies é perpendicular aos gradientes de ambas as superfícies no ponto . Para encontrar essa direção, vamos calcular o produto vetorial dos gradientes e :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
Passo 6
Agora que temos o vetor direção e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente: