Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção do paraboloide do elipsoide no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as equações paramétricas da reta tangente à curva de interseção entre um paraboloide e um elipsoide no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como gradientes e produtos vetoriais, para determinar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das superfícies:
  1. Paraboloide:
  2. Elipsoide:
Queremos encontrar a reta tangente à curva onde essas duas superfícies se cruzam no ponto .

Passo 3

Para encontrar a direção da reta tangente, precisamos calcular os gradientes das duas superfícies no ponto . O gradiente de uma função nos dá um vetor perpendicular à superfície naquele ponto.
Vamos reescrever as equações das superfícies para facilitar o cálculo dos gradientes:
  1. Paraboloide:
  2. Elipsoide:

Passo 4

Agora, calculamos os gradientes:
  • Gradiente do paraboloide ( ):
    No ponto :
  • Gradiente do elipsoide ( ):
    No ponto :

Passo 5

A direção da reta tangente à curva de interseção das duas superfícies é perpendicular aos gradientes de ambas as superfícies no ponto . Para encontrar essa direção, vamos calcular o produto vetorial dos gradientes e :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:

Passo 6

Agora que temos o vetor direção e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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