Encontre equações paramétricas para as retas nos exercícios abaixo:
A reta que passa por (2, 3, 0) e é perpendicular aos vetores u = i + j + 3k + v = 3i + 4j + 5k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (2, 3, 0) e que é perpendicular aos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço 3D, especificamente sobre vetores e retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta que queremos determinar. Se a reta é perpendicular a dois vetores, a direção dela será perpendicular a ambos esses vetores. Para encontrar um vetor que é perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial u x v é dado por:

Passo 4

Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor da reta e um ponto por onde ela passa (2, 3, 0), podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas são dadas por:
Onde é o ponto pela qual a reta passa e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.

Passo 6

Substituindo os valores:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
Onde t é um parâmetro real.

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