Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio e o recorrido (ou seja, o intervalo de valores possíveis) da função:
Primeiro, vamos entender o que significa domínio e recorrido. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. O recorrido é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir.
Vamos precisar conhecer a função
(ou arctangente), que está definida para todos os números reais, e analisar a fração dentro dela.
Passo 2
Vamos começar analisando a fração dentro da função arctangente:
Aqui,
e
são sempre números não negativos, pois estamos elevando ao quadrado. O denominador
nunca será zero, a menos que ambos
e
sejam zero ao mesmo tempo.
Então, primeiro, determinamos onde a função está definida. A função arctangente está definida para todos os números reais, mas precisamos que o denominador não seja zero:
Isso acontece quando pelo menos um dos números
ou
é diferente de zero. Portanto, o domínio da função são todos os pares
onde não estão ambos iguais a zero.
Passo 3
Agora, vamos determinar o recorrido da função. Para isso, vamos analisar os possíveis valores que a fração
pode assumir.
Como
e
são não negativos, a fração será sempre um número entre 0 e 1:
Quando
tende a infinito,
tende a 0.
Quando , a fração se torna 1.
Quando
Agora, aplicando a função
(arctangente) sobre esse intervalo. A arctangente de valores entre 0 e 1 varia de 0 a
radianos.
Resposta
O domínio da função
é todos os pares
em
exceto quando
e
simultaneamente.
O recorrido da função é o intervalo: