Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = Arctg(x^2 / (x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio e o recorrido (ou seja, o intervalo de valores possíveis) da função:
Primeiro, vamos entender o que significa domínio e recorrido. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. O recorrido é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir.
Vamos precisar conhecer a função (ou arctangente), que está definida para todos os números reais, e analisar a fração dentro dela.

Passo 2

Vamos começar analisando a fração dentro da função arctangente:
Aqui, e são sempre números não negativos, pois estamos elevando ao quadrado. O denominador nunca será zero, a menos que ambos e sejam zero ao mesmo tempo.
Então, primeiro, determinamos onde a função está definida. A função arctangente está definida para todos os números reais, mas precisamos que o denominador não seja zero:
Isso acontece quando pelo menos um dos números ou é diferente de zero. Portanto, o domínio da função são todos os pares onde não estão ambos iguais a zero.

Passo 3

Agora, vamos determinar o recorrido da função. Para isso, vamos analisar os possíveis valores que a fração pode assumir.
Como e são não negativos, a fração será sempre um número entre 0 e 1:
Quando tende a infinito, tende a 0.
Quando , a fração se torna 1.
Agora, aplicando a função (arctangente) sobre esse intervalo. A arctangente de valores entre 0 e 1 varia de 0 a radianos.

Resposta

O domínio da função é todos os pares em exceto quando e simultaneamente.
O recorrido da função é o intervalo:

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