Nos exercícios abaixo, encontre o ponto em que a reta encontra o plano.
x = 2, y = 3 + 2t, z = 5t; x + y + z = 7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o ponto onde uma reta intercepta um plano. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, usando equações paramétricas da reta e a equação geral do plano. Para resolver, vamos precisar substituir as equações da reta na equação do plano e encontrar o valor do parâmetro que nos dará o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações da reta e do plano. A reta está definida por:
E o plano é dado por:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que as coordenadas da reta satisfaçam a equação do plano.

Passo 3

Vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano:
Simplificando isso passo a passo:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Com o valor de encontrado, vamos substituir de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

O ponto onde a reta intercepta o plano é .

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