Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: f(x, y) = raiz(x^2 - y^2) * e^((x + y) / (x - y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis: . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o domínio (ou seja, para quais valores de e a função está definida) e o recorrido (os possíveis valores que a função pode assumir). Vamos precisar usar conhecimentos de funções com raízes quadradas e exponenciais, além de entender como essas partes interagem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Isso significa identificar todas as combinações de e que fazem a função existir sem nenhuma treta, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo.

Passo 3

A função tem duas partes principais que precisam estar ok:
  1. A raiz quadrada:
  2. A exponencial:
Vamos examinar cada uma delas.

Passo 4

Começando pela raiz quadrada: . A expressão dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, temos:

Passo 5

Simplificando a desigualdade , podemos reescrever como:
Isso significa que o valor absoluto de precisa ser maior ou igual ao valor absoluto de , ou seja:

Passo 6

Agora, vamos olhar para a parte exponencial: . A função exponencial está sempre definida para qualquer número real , mas preciso avisar que o denominador não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero. Então, temos mais uma condição:

Passo 7

Resumindo as condições que encontramos para o domínio:
Isso significa que a função está definida para todos os pares que satisfazem essas duas condições.

Passo 8

Agora que temos o domínio, vamos ao recorrido da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir.

Passo 9

Observamos que:
  • sempre dá um valor não negativo (porque é uma raiz quadrada).
  • sempre dá um valor positivo, já que a base elevada a qualquer potência é positiva.
Portanto, o produto dessas duas partes será sempre positivo.

Passo 10

Além disso, a parte exponencial pode crescer sem limites à medida que aumenta ou diminui, fazendo com que possa assumir qualquer valor positivo real.

Resposta

  • Domínio: Todos os pares tais que e .
  • Recorrido: Todos os números reais positivos, ou seja, .

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