Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis:
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o domínio (ou seja, para quais valores de
e
a função está definida) e o recorrido (os possíveis valores que a função pode assumir). Vamos precisar usar conhecimentos de funções com raízes quadradas e exponenciais, além de entender como essas partes interagem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Isso significa identificar todas as combinações de
e
que fazem a função existir sem nenhuma treta, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
A função
tem duas partes principais que precisam estar ok:
- A raiz quadrada:
- A exponencial:
Vamos examinar cada uma delas.
Passo 4
Começando pela raiz quadrada:
. A expressão dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, temos:
Passo 5
Simplificando a desigualdade
, podemos reescrever como:
Isso significa que o valor absoluto de
precisa ser maior ou igual ao valor absoluto de
, ou seja:
Passo 6
Agora, vamos olhar para a parte exponencial:
. A função exponencial
está sempre definida para qualquer número real
, mas preciso avisar que o denominador
não pode ser zero, porque não dá pra dividir por zero. Então, temos mais uma condição:
Passo 7
Resumindo as condições que encontramos para o domínio:
Isso significa que a função está definida para todos os pares
que satisfazem essas duas condições.
Passo 8
Agora que temos o domínio, vamos ao recorrido da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir.
Passo 9
Observamos que:
-
sempre dá um valor não negativo (porque é uma raiz quadrada). -
sempre dá um valor positivo, já que a base elevada a qualquer potência é positiva.
Portanto, o produto dessas duas partes
será sempre positivo.
Passo 10
Além disso, a parte exponencial
pode crescer sem limites à medida que
aumenta ou diminui, fazendo com que
possa assumir qualquer valor positivo real.
Resposta
-
Domínio: Todos os pares
tais que e . -
Recorrido: Todos os números reais positivos, ou seja,
.