Nos exercícios abaixo, encontre a distância do ponto ao plano.
Encontre a distância da reta x = 2 + t, y = 1 + t, z = -1/2 - 1/2 * t ao plano x + 2y + 6z = 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância da reta dada ao plano especificado. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente a distância entre uma reta e um plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a um plano e aplicar isso a um ponto qualquer da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto na reta. A reta está dada pelas equações paramétricas:
Escolheremos um valor para para encontrar um ponto específico. O mais fácil é escolher :
Então, um ponto na reta é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância desse ponto ao plano dado pela equação:
A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Vamos reorganizar a equação do plano para ficar na forma padrão:
Aqui, , , e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da distância:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:

Resposta

Portanto, a distância da reta ao plano é:

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