Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para
a função
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada dela no ponto
. Para isso, vamos usar a definição da derivada, que é um conceito básico de cálculo diferencial. Vamos precisar entender como calcular limites e manipular expressões algébricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada de uma função
num ponto
:
Isso significa que para encontrar a derivada no ponto 2, vamos calcular:
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
por
na função:
Agora, vamos expandir o termo
:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Substituindo
e
na definição da derivada:
Simplificando a fração dividindo cada termo por
:
Passo 6
Agora, aplicando o limite quando
se aproxima de 0: