Encontre as equações das retas tangente e normal à curva x^2 + y/2 - 1 = 0 no ponto P(-1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para determinar a inclinação da tangente e, a partir daí, achar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lá reescrever a equação da curva de uma forma que facilite a derivação. A equação dada é:
Podemos isolar :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da curva naquele ponto.
Derivando :

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da tangente no ponto . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.

Passo 5

Com a inclinação da tangente conhecida (4) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto dado.
Substituindo:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Se a inclinação da tangente é 4, então a inclinação da normal é:

Passo 7

Usando novamente a fórmula da equação da reta com o ponto e a inclinação da normal:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .

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