Encontre as equações das retas tangente e normal à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para determinar a inclinação da tangente e, a partir daí, achar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lá reescrever a equação da curva de uma forma que facilite a derivação. A equação dada é:
Podemos isolar :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da curva naquele ponto.
Derivando :
Passo 4
Vamos calcular a inclinação da tangente no ponto . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.
Passo 5
Com a inclinação da tangente conhecida (4) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto dado.
Substituindo:
Então, a equação da reta tangente é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Se a inclinação da tangente é 4, então a inclinação da normal é:
Passo 7
Usando novamente a fórmula da equação da reta com o ponto e a inclinação da normal:
Então, a equação da reta normal é .
Resposta
A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .